静止流体の理論：静水力学（レベル3） 傾斜した平面や曲面に作用する静水圧を学ぼう！
https://www.youtube.com/watch?v=UOi5GZDwBY4&t=288
内容
傾斜平面
曲面
一般式
$ \pmb{P}=\iint_{\pmb{s}\in S}-\rho gz\mathrm{d}\pmb{s}
$ S: 考えている面
面素vectorは面の法線方向(面から離れる向き)に向いているので、静水圧の向きは逆向き(面に向かう向き)になる
一般式から具体的なモデルを導く
鉛直平面
法線方向への単位vectorを$ \pmb{e}_nとする
法線方向への積分範囲は空
これにより、法線方向以外の方向の全静水圧は0になる
鉛直平面に沿う軸である、z軸とz軸に垂直な軸だけを考えればいい
後者をl軸とする
$ \pmb{P}=\iint_{\pmb{s}\in S}-\rho gz\mathrm{d}\pmb{s}
$ =\iint_{(z,l)\in S}-\rho gz\pmb{e}_n\mathrm{d}z\mathrm{d}l
$ \underline{=-\rho gz_G\pmb{S}\quad}_\blacksquare
$ \pmb{S}: Sの面積vector。方向は$ \pmb{e}_n
ここで、z軸方向の図心$ z_g:=\frac{\iint_{(z,l)\in S}z\mathrm{d}z\mathrm{d}l}{|\pmb{S}|}を使った
傾斜平面
z軸に垂直な平面との角度が$ \thetaである傾斜平面$ Tを考える
法線方向を$ \pmb{e}_n, 面に平行な軸のうちz軸に平行な方向を$ \pmb{e}_r, 垂直な方向を$ \pmb{e}_lとする
$ \pmb{P}=\iint_{\pmb{s}\in S}-\rho gz\mathrm{d}\pmb{s}
$ =\iint_{(r,l)\in S}-\rho gr\sin\theta\pmb{e}_n\mathrm{d}r\mathrm{d}l
$ \because z=r\sin\theta
$ \underline{=-\rho gz_G\pmb{S}\quad}_\blacksquare
$ \because z_G=r_G\sin\theta, r_G:=\frac{\iint_{(r,l)\in S}r\mathrm{d}r\mathrm{d}l}{|\pmb{S}|},\pmb{S}=|\pmb{S}|\pmb{e}_n
$ \pmb{e}_n =-\pmb{e}_z\cos\theta+\pmb{e}_m\sin\thetaと分解すると、
$ P_z=-\rho gz_GS_z
$ P_m=\rho gz_GS_m
ここで、$ -z_GS_z=S\text{に乗っかっている液体の体積}になる
証明：
$ S\text{に乗っかっている液体の体積}=\iint_{\pmb{s}\in S}\rho gz(-\mathrm{d}\pmb{s}\cdot\pmb{e}_z)
面積vectorは反転させておかないと、体積がマイナスになってしまう
$ = \iint_{(r,l)\in S}\rho gz\mathrm{d}r\mathrm{d}l\cos\theta
$ =\iint_{(r,l)\in S}\rho gr\mathrm{d}r\mathrm{d}l\sin\theta\cos\theta
$ =\rho gz_G|\pmb{S}|\cos\theta
$ =-\rho gz_GS_z
$ \because S_z:=\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z=-|\pmb{S}|\cos\theta
あれ？$ m軸へ射影した面積が$ S_zになるのか？
添字が逆になる？おかしくない？
https://kakeru.app/f3b6cfa1e633ac5b755d6f84390fc3d7 https://i.kakeru.app/f3b6cfa1e633ac5b755d6f84390fc3d7.svg
おかしくないのか……
いや計算ミスだった。同じ添字になる。
$ \pmb{r}_G\times\pmb{P}=\iint_{\pmb{s}\in S}\pmb{s}\times(-\rho gz\mathrm{d}\pmb{s})
$ \pmb{P}=\iint_{\pmb{s}\in S}-\rho gz\mathrm{d}\pmb{s}を代入すると、密度と重力を消せる
$ \pmb{r}_G\times\iint_{\pmb{s}\in S}z\mathrm{d}\pmb{s}=\iint_{\pmb{s}\in S}\pmb{s}\times z\mathrm{d}\pmb{s}
ここに書いたのって、全部単一流体の場合の話なんだよなあtakker.icon 水と油が重なるように、二層の流体になっていたり、場所によって密度が異なる場合は、図心を使った簡潔な式を使えない
ノート見せるときに↓で展開しておく
(見せおわったので削除)